Tiêu chuẩn này có hiệu lực là do không gian các số thực R và không gian các số phức C (với metric cho bởi giá trị tuyệt đối) đều là đầy đủ. Vì thế chuỗi hội tụ khi và chỉ khi dãy tổng riêng

s n := ∑ i = 0 n a i {\displaystyle s_{n}:=\sum _{i=0}^{n}a_{i}}

là một dãy Cauchy.

Một dãy số thực hoặc phức s n {\displaystyle s_{n}} là một dãy Cauchy khi và chỉ khi s n {\displaystyle s_{n}} hội tụ (tới một điểm nào đó trong R hoặc C).[3] Định nghĩa chính tắc khẳng định rằng với mỗi ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} , tồn tại số tự nhiên N, sao cho với mọi n, m > N ta có

| s m − s n | < ε . {\displaystyle |s_{m}-s_{n}|<\varepsilon .}

Ta giả thiết rằng m > n và do đó đặt p = m − n.

| s n + p − s n | = | a n + 1 + a n + 2 + ⋯ + a n + p | < ε . {\displaystyle |s_{n+p}-s_{n}|=|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}|<\varepsilon .}

Chứng tỏ rằng một dãy là một dãy Cauchy là hữu ích vì ta không cần tìm ra giới hạn của dãy đang xét. Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy chỉ có thể được áp dụng trong các không gian metric đầy đủ (ví dụ R hay C), là các không gian mà mọi dãy Cauchy hội tụ. Ta chỉ cần cho thấy rằng các phần tử của dãy tiến gần nhau một cách tùy ý sau một vài bước hữu hạn của dãy. Có một số ứng dụng máy tính của dãy Cauchy, trong đó một quy trình lặp có thể được thiết lập để tạo ra các dãy như vậy.